一篇奇怪的Paper和hough voting的想法

THE HOUGH TRANSFORM’S IMPLICIT BAYESIAN FOUNDATION, Neil Toronto, Bryan S. Morse, Dan Ventura, Kevin Seppi.

这篇paper本身很简单，主要是讲一个定理的证明，也即文中的Theorem 3.3：

For all types of parameterizeable shapes, and for all voting distributions
vd(s, xi, yi), there exists a probability distribution P(xi, yi|s)
and a constant c such that, in the feasible domain of s, H(s) =
c + log P(s|x1, y1, ..., xk, yk).

这里s代表一个hypothesis space，(xi, yi)是所有observations中的某一个观测点，等式左边是Hough Votes，右边是一个log sum。乍看起来定理说的头头是道，但是很关键的一点是，定理中隐含了一个假设，如下：

P(xi, yi|s) = (1 / beta)* exp(vd(s, xi, yi))

作者没有说这样假设的合理性；如果可以这么假设的话，上边那个定理就根本不用证明了，因为那个定理很显然和这个假设说的是同一件事情。也就是说，这个“定理”完全是循环论证的结果。

当然，如果这个假设是正确的，或者说这个定理是正确的，那么很多基于ISM (implicit shape model) 的方法应该就是完全错误的，尽管或许实验结果是好的；比如那篇max-margin hough transform的paper (CVPR09)

然而如果这个假设不正确，那hough votes到底该怎么理解呢？或者可以直接说，hough votes基于一个没有很强的probabilistic解释的assumption：P(M | X) = \sum P(M | x_i)，M 是模型参数，也即假设空间，X是所有observation的集合。或许hough methods就是基于这样的一个对后验的近似估计？

CVPR10有一篇文章 "On detection of Multiple Object Instances Using Hough Transform"，其作者也试图用probabilistic的方法解释hough methods，但是呢，我觉得里边用到的assumptions可能太多太强了，看起来不是特别reasonable；不过也是一个很好的尝试吧 ：）